Integraler

Med hjälp av primitiva funktioner så beräknar man integraler. Detta innebär att du beräknar arean mellan en kurva och x - axeln. Det går också bra att beräkna arean mellan två stycken kurvor eller för en geometrisk kropp.

Integralkalkylens fundamentalsats

$ \int\limits_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) ? F(a) $

Med hjälp av integralkalkylens fundamentalsats kan areor mellan kurvor och x - axeln beräknas på ett smidigt vis. Man behöver här känna till hur man tar primitiv funktion för att därefter beräkna den primitiva funktionens värde för den övre gränsen subtraherat med den primitiva funktionens värde för den undre gränsen.

Två exempel på integralberäkningar

$ \int\limits_0^2 2x + 1 dx = \left[ x^2 + x \right]_0^2 = 6 - 0 = 6 $

$ \int\limits_0^{\pi / 2} cos x dx = \left[ sinx \right]_0^{\pi /2} = sin(\pi / 2) ? sin 0 = 1-0 = 1 $

Areor mellan kurvor

integraler mellan tv? stycken kurvor

När man skall ber?kna areor mellan kurvor (se fig ovan) så beräknas integralen för den övre kurvans funktionsformel minus den undre kurvans. Så om f(x) är den övre kurvan och g(x) den undre och skärningspunkterna mellan kurvorna är x = a och x = b ges arean mellan dessa kurvor av:

$ \int\limits_a^b f(x) - g(x) dx $

Areor under x - axeln

När en kurva befinner sig under x - axeln kommer vi att få en negativ area (trots att arean alltid b?r vara positiv). Det man därför gör då är att man delar upp integralberäkningen i olika delar där man sätter (-) minus framför de delar där kurvan befinner sig under x - axeln.

Ett exempel på detta kan vara integralen $ \int\limits_0^{2 \pi} sinx dx $ som du ser utritad i figuren nedan

integraler under x - axeln

Här kan integralberäkningen delas upp enligt
$ \int\limits_0^{\pi} sinx dx - \int\limits_{\pi}^{2 \pi} sinx dx $